[COLOR=#cd3333][BNeden Matematik[/B]
Matematik uygarlığın aracıdır. Matematik çok yönlü bir bilimdir. Yayılma alanının ve derinliğinin sınırı yoktur. Bilim ve teknolojide olduğu kadar günlük yaşamda da vazgeçilmezdir. Çağlardan çağlara taşınan, ulusal sınır tanımayan, etkili, sağlam ve evrensel bir kültürdür.
İnsanoğlu varoluşundan beri korkuyla, şüpheyle ve merakla içinde yaşadığı evreni tanımaya, doğa olaylarını açıklamaya ve doğaya egemen olmaya uğraşmaktadır. Gizlerini bilmediği için doğa olaylarını, yüzbinlerce yıl boyunca, korkuyla gözleyen insanoğlu, doğaya egemen olmak zorunda olduğunu kavradıktan sonra onunla amansız bir mücadeleye girmiştir. Bu mücadelede onun en hünerli aracı matematiktir. Tarih öncesi zamanlardan beri insanoğluna doğa üstü görünen pek çok olayın bilimsel açıklaması matematik ile yapılabilmiştir, evrenin mükemmel düzeni matematik ile ortaya konulmuştur. Örneğin, gök cisimlerinin hareketi, insanoğlunun daima merak ettiği hatta korktuğu olgulardandı. Şimdi Ay'ın ve Güneş'in tutulmasından korkmuyoruz; hatta tutulmaların ne zaman ve nerede olacağını çok önceden hesaplayabiliyoruz. Gök gürlemesinden, yağmurdan, selden korkmuyor; barajlar kuruyor, evlere, fabrikalara enerji akıtıyoruz. Dünyada ve hatta gezegenler arasında etkin bir haberleşme ağı yaratıyor, üstün bir iletişim ortamı kuruyoruz. Temeli matematiğe dayanan Elektrik ve Magnetizma Kuramı olmasa günümüzün enerji ve iletişim sistemleri çalışmazdı; yani radyolarımız çalışmaz, televizyonlarımız göstermez; barajlarımız elektrik üretmezdi. Işığın nasıl yayıldığını kolayca açıklıyoruz. Işığı yalnız aydınlatmada kullanmıyoruz; örneğin, x ışınlarını, lazer ışınlarını insanlığın sağlığı, refahı ve mutluluğu için kullanabiliyoruz. Süper bilgisayarlar üretiyor ve binlerce kişinin binlerce yılda bitiremiyeceği işlemleri saniyelerde yapıyoruz. Romantizmin başlıca kaynağı olan Ay'a ayak basıyoruz...
Bütün bunları matematikle yapıyoruz.
Matematiğin uygulanmadığı hiçbir teknik alan yoktur... Matematik yalnızca çağdaş bilim ve tekniğin temel aracı değildir... Tıp, sosyal, siyasal, ekonomi, işletme, yönetim v.b. bilimler de matematiksel yöntemlere dayanmak zorundadır. Kısaca matematik, insan aklının yarattığı en büyük ortak değerdir. Evrenselliği onun gücüdür. Çağları aşarak bize ulaşmıştır, çağları aşarak yeni kuşaklara ulaşacaktır. Büyüyerek, gelişerek, insanlığa hizmet edecek; her zaman taze ve doğru kalacaktır.
Bu nedenle, matematik öğretimi bütün dünya ülkelerinde özel bir önem ve önceliğe sahiptir.
Matematik Makaleleri..
Konu Sahibi / Yazar
AYFER
Kategori / Forum
Eğitim - Öğretim
Yorumlar / Cevaplar
5
Okunma / Görüntüleme
6415
Matematik Makaleleri..
Matematik Makaleleri..
Matematik her derde deva
Matematik denince akla daha ziyade fen ve matematik geliyor. Oysa denklemler ve sayılarla verilen zevkli uğraş, yabancılaşma ve yalnızlıkla mücadeleyi de kolaylaştırıyor.
Yeni durumlara ne kadar çabuk adapte olabiliyorsunuz? Ya her şeyi bırakıp başka bir kıtadaki bambaşka bir ülkeye gitmek zorunda kalsaydınız? Böyle bir durumda yaşanan belki de en büyük problem, hissedilen yabancılaşma ve yalnızlık... İnsanlar genellikle bununla baş edebilmek için tanıdık, bildik bir şeylere sımsıkı sarılıyorlar. DW'den Jan Lublinski, küçük bir çocukken Çin'den Almanya'ya gelen ve şu anda Bremen Üniversitesi'nde eğitimine devam eden genç bir göçmenle görüştü. Chen Shuai Sui, kendini evinde hissetmek için matematiğin uluslararası dilini kullanmış.
Mekan, Bremen'deki özel Jacobs Üniversitesi'nin yurtlarından birinin kantini... Saat sabahın 9'u. Chen Shuai Sui, önce kahve makinesine, oradan da küçük kahvaltı büfesine yöneliyor. Henüz buradaki ilk birkaç haftasında olmasına rağmen, diğer öğrenciler ve çalışanlar geçerken ona selam veriyorlar. Chen, okulun ortamından memnun:
"Burası özel bir okul ve öğrenci-profesör ilişkileri çok iyi... Hatta yüzlerce kişilik amfileri olan, profesörlerin kimseyi tanımadıkları devlet üniversiteleriyle karşılaştırdığımız zaman, daha çok bir liseye benzetilebilir. Özellikle derslerde, sınıf mevcudunun 20 kişiyi geçmemesi çok hoşuma gidiyor."
Hesaplamada Çin-Alman farkı
Chen Shuai Sui, matematik olimpiyatlarında 5 kez Almanya birincisi olmuş. Çocukluğundan beri işlem yapmayı çok sevdiği için, “üniversitede ne okusam” diye fazla düşünmemiş. 12 yaşına kadar Çin'de eğitim görmüş. Chen Shuai, oradaki matematik eğitiminin daha yoğun olmasının, Almanya'daki eğitimine büyük katkı sağladığını söylüyor:
"İlkokulda aritmetik çok daha yoğun bir şekilde işleniyor. Bu yüzden ortalama olarak Çinliler, aritmetik konusunda genelde Almanlardan daha iyiler. Çünkü Almanlar 6. sınıftan itibaren tüm işlemleri hesap makinesiyle hesapladıkları için akıldan veya kağıt üzerinde hesaplama konularında geriliyorlar."
Chen Shuai Sui, Almanya'ya geldiğinde buradaki okul sistemini çok daha rahat bulmuş. Özellikle matematik konusunda ilk birkaç yılda çok az yeni şey öğrenmiş:
"Bu bana, başlangıçta, Almanca’yı iyi bilmediğim zamanlarda çok yardımcı oldu. İngilizce, Almanca, tarih gibi anlamak için çok çalışmam gereken derslerin yanında, matematiğe fazla zaman harcamam gerekmiyordu. Yine de iyi notlar alıyordum. Bu beni matematikle daha çok ilgilenmeye teşvik etti. Çünkü matematik uçsuz bucaksız bir alan... Ayrıca tüm dünyada aynı, Arapça rakamlar kullanılıyor. Bu alışma süresinde benim için çok büyük bir teselli kaynağı oldu."
Matematiğin büyüsü
Chen Shuai'nin Almanya'daki matematik öğretmeni, bu konudaki yeteneğini fark etmiş ve Hamburg'daki Wilhelm Stern Yetenek Teşvik Derneği'nde haftada bir saat ekstra matematik dersi almasını sağlamış. Lise bitirme sınavından sonra Bremen Özel Üniversitesi’ni seçmiş ve Vodafone'un göçmen çocuklara fırsat tanımak için oluşturduğu programdan tam burs almış. O zamandan beri, matematik araştırmacılarının soyut dünyasına daha da çok bağlanmış. Chen Shuai Sui, matemetiğin büyülü olduğunu söylüyor:
"Matematik benim için çok büyülü bir alan. Çünkü öğrendiklerin, her zaman için doğruluğunu koruyor. Bir şeyi kanıtladığında, eğer bunu doğru olarak yapmışsan, o tarihten binlerce, milyonlarca yıl sonra bile bu geçerli oluyor. Her şeyi yeniden inşa edebilirsin, hey şeyin temeline inebilirsin, karmaşık olanları basitleştirebilirsin... Bunu tanımlamak gerçekten zor ama bu çok büyülü bir şey..."
Matematik denince akla daha ziyade fen ve matematik geliyor. Oysa denklemler ve sayılarla verilen zevkli uğraş, yabancılaşma ve yalnızlıkla mücadeleyi de kolaylaştırıyor.
Yeni durumlara ne kadar çabuk adapte olabiliyorsunuz? Ya her şeyi bırakıp başka bir kıtadaki bambaşka bir ülkeye gitmek zorunda kalsaydınız? Böyle bir durumda yaşanan belki de en büyük problem, hissedilen yabancılaşma ve yalnızlık... İnsanlar genellikle bununla baş edebilmek için tanıdık, bildik bir şeylere sımsıkı sarılıyorlar. DW'den Jan Lublinski, küçük bir çocukken Çin'den Almanya'ya gelen ve şu anda Bremen Üniversitesi'nde eğitimine devam eden genç bir göçmenle görüştü. Chen Shuai Sui, kendini evinde hissetmek için matematiğin uluslararası dilini kullanmış.
Mekan, Bremen'deki özel Jacobs Üniversitesi'nin yurtlarından birinin kantini... Saat sabahın 9'u. Chen Shuai Sui, önce kahve makinesine, oradan da küçük kahvaltı büfesine yöneliyor. Henüz buradaki ilk birkaç haftasında olmasına rağmen, diğer öğrenciler ve çalışanlar geçerken ona selam veriyorlar. Chen, okulun ortamından memnun:
"Burası özel bir okul ve öğrenci-profesör ilişkileri çok iyi... Hatta yüzlerce kişilik amfileri olan, profesörlerin kimseyi tanımadıkları devlet üniversiteleriyle karşılaştırdığımız zaman, daha çok bir liseye benzetilebilir. Özellikle derslerde, sınıf mevcudunun 20 kişiyi geçmemesi çok hoşuma gidiyor."
Hesaplamada Çin-Alman farkı
Chen Shuai Sui, matematik olimpiyatlarında 5 kez Almanya birincisi olmuş. Çocukluğundan beri işlem yapmayı çok sevdiği için, “üniversitede ne okusam” diye fazla düşünmemiş. 12 yaşına kadar Çin'de eğitim görmüş. Chen Shuai, oradaki matematik eğitiminin daha yoğun olmasının, Almanya'daki eğitimine büyük katkı sağladığını söylüyor:
"İlkokulda aritmetik çok daha yoğun bir şekilde işleniyor. Bu yüzden ortalama olarak Çinliler, aritmetik konusunda genelde Almanlardan daha iyiler. Çünkü Almanlar 6. sınıftan itibaren tüm işlemleri hesap makinesiyle hesapladıkları için akıldan veya kağıt üzerinde hesaplama konularında geriliyorlar."
Chen Shuai Sui, Almanya'ya geldiğinde buradaki okul sistemini çok daha rahat bulmuş. Özellikle matematik konusunda ilk birkaç yılda çok az yeni şey öğrenmiş:
"Bu bana, başlangıçta, Almanca’yı iyi bilmediğim zamanlarda çok yardımcı oldu. İngilizce, Almanca, tarih gibi anlamak için çok çalışmam gereken derslerin yanında, matematiğe fazla zaman harcamam gerekmiyordu. Yine de iyi notlar alıyordum. Bu beni matematikle daha çok ilgilenmeye teşvik etti. Çünkü matematik uçsuz bucaksız bir alan... Ayrıca tüm dünyada aynı, Arapça rakamlar kullanılıyor. Bu alışma süresinde benim için çok büyük bir teselli kaynağı oldu."
Matematiğin büyüsü
Chen Shuai'nin Almanya'daki matematik öğretmeni, bu konudaki yeteneğini fark etmiş ve Hamburg'daki Wilhelm Stern Yetenek Teşvik Derneği'nde haftada bir saat ekstra matematik dersi almasını sağlamış. Lise bitirme sınavından sonra Bremen Özel Üniversitesi’ni seçmiş ve Vodafone'un göçmen çocuklara fırsat tanımak için oluşturduğu programdan tam burs almış. O zamandan beri, matematik araştırmacılarının soyut dünyasına daha da çok bağlanmış. Chen Shuai Sui, matemetiğin büyülü olduğunu söylüyor:
"Matematik benim için çok büyülü bir alan. Çünkü öğrendiklerin, her zaman için doğruluğunu koruyor. Bir şeyi kanıtladığında, eğer bunu doğru olarak yapmışsan, o tarihten binlerce, milyonlarca yıl sonra bile bu geçerli oluyor. Her şeyi yeniden inşa edebilirsin, hey şeyin temeline inebilirsin, karmaşık olanları basitleştirebilirsin... Bunu tanımlamak gerçekten zor ama bu çok büyülü bir şey..."
Anamın adı Hüsniye Ana
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
![[Resim: zohreanaxq1.jpg]](http://img83.imageshack.us/img83/4249/zohreanaxq1.jpg)
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Matematik Makaleleri..
Matematiksel kavramlar doğada var mıdır?
Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar:
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.
Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589… diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?
Doğada pi olmadığı gibi, 0,9999999… sayısı da yoktur . Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu iş için yeterince zamanımız yoktur!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla, elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz?
Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmışlardır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek !
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur!
Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.
Bu felsefi hatta ****fizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek daha vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim. Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza değin olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle, bir atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşım içinde değildir .
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların yaratı mı, yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir.
Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı insanın varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden bağımsız vardır.
İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız varolamayacağı sonucu çıkmaz.
Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve cisim gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık birer keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır?
Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi, yerçekimi gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları da insandan bağımsız mıdır?
Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden önce doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça, matematiğin doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle kavranabilen bir soru olarak kalacaktır.
Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı doğayı tanımlamak değil, “doğa” kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda, matematiğin doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu kavramın daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına inananların oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip olduklarını ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin yaratmadığını ama keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu savunacağım.
Her ne denli “doğa” sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş anlamda kullandığımı belirtmeliyim. “Doğa” sözcüğü salt yaşadığımız dünyayı ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda kullanıyorum sözcüğü. Belki de “doğa” yerine “evren” ya da “dışdünya” demem daha doğru olurdu.
alıntı
Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar:
Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.
Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
Doğada pi sayısı da yoktur. Çünkü pi sayısı 3,141592653589… diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken) bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de yinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada pi de yoktur. Kimse pi’yi tam olarak yazamaz. pi’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde elde edilen sayı olarak tanımlamak, pi’nin doğada olduğunu göstermeye yeterli değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, pi’yi değil, pi’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematiksel anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten uygulamada hiçbir zaman pi gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 = 314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da, pi’nin doğada olmadığı savını desteklemez mi?
Doğada pi olmadığı gibi, 0,9999999… sayısı da yoktur . Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu iş için yeterince zamanımız yoktur!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla, elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz?
Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmışlardır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek !
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur!
Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.
Bu felsefi hatta ****fizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek daha vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim. Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza değin olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle, bir atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşım içinde değildir .
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların yaratı mı, yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir.
Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı insanın varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden bağımsız vardır.
İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız varolamayacağı sonucu çıkmaz.
Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve cisim gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık birer keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır?
Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi, yerçekimi gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları da insandan bağımsız mıdır?
Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden önce doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça, matematiğin doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle kavranabilen bir soru olarak kalacaktır.
Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı doğayı tanımlamak değil, “doğa” kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda, matematiğin doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu kavramın daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına inananların oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip olduklarını ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin yaratmadığını ama keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu savunacağım.
Her ne denli “doğa” sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş anlamda kullandığımı belirtmeliyim. “Doğa” sözcüğü salt yaşadığımız dünyayı ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda kullanıyorum sözcüğü. Belki de “doğa” yerine “evren” ya da “dışdünya” demem daha doğru olurdu.
alıntı
Anamın adı Hüsniye Ana
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Matematik Makaleleri..
[COLOR=sienna]Modern Matematik Bir Zorunluluktur
Nokta, doğru, çember, , 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanan, ancak modern matematiğin doğada bulunduğuna inanmayanlar olabilir. Bu düşünceyi de paylaşmıyorum. Bu bölümde modern matematiğin bir zorunluluk olduğunu savunacağım.
Modern matematik matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, varoluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.
Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük kavramı, sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar kavramından polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar. Uzaklık kavramından topolojik uzay kavramı, topolojik uzay ve türev kavramlarından manifold kavramı doğar.
Bir örnek daha vereyim. Diyelim ilkel bir toplum 20’ye değin saymasını biliyor ve 20’den büyük sayılar için “çok” terimini kullanıyor. Bu ilkel toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz olmamalı. 20’ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20’ye değin sayabilen bir toplumun 21’i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel zaman git zaman 21’i, 22’yi, 23’ü öğrenecek, hatta “artı 1” kavramına ulaşacaktır. Arkası kendiliğinden gelir. “Artı 1” kavramına ulaşan bir toplum kolaylıkla evrendeki “parçacık” sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa evrende böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama “artı 1” soyutlaması bu sayıyı “yaratır”. Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan “sonsuz” kavramına varmak zor değildir.
Ben gerçekten de “sonsuz” ve “artı 1” soyutlamasına erişmek için 20’ye değin sayabilmenin yeterli olduğuna inanıyorum. 20’ye değin sayabilen toplumların, salt bu kavramları değil, ne derece soyut olursa olsun, her matematiksel kavramı bir zaman sonra bulacağına inanıyorum.
Yukarda, her kavramın bir başka kavramdan doğduğunu söyledim. Biraz daha ileri gideyim: Matematikçi tanımlayacağı kavramları karşısında tanımlanmaya hazır bulur. Dahaca tanımlanmamış kavramlar matematikçinin kâğıtları arasından sırıtır. Bu kavramı görmek matematikçi için bir zaman sorunudur. Örneğin “asal sayı” kavramı tamsayılarla uğraşan herkesin karşısına çıkar. Asal sayı kavramı bir matematikçinin durup dururken birdenbire bulduğu bir kavram değildir. Sayı kavramı asal sayı kavramını içinde taşır. Sayıları anlamak isteyen her akıllı yaratık, asal sayı kavramını bulmak zorundadır.
Her matematiksel kavram daha önce bulunmuş matematiksel kavramlardan kaçınılmaz olarak doğar.
Ayrıca, matematiksel kavramlar kendilerini salt bir dalda göstermezler. Aynı kavram, birbiriyle ilintisiz gibi görünen birçok araştırmada, birçok matematik dalında ortaya çıkabilir. pi sayısı buna güzel bir örnektir. pi’nin raslanmadığı matematiksel konu yok gibidir.
Sonuç olarak, modern matematiğin doğada varolduğunu kanıtlamak için, nokta gibi, doğru gibi, 1, 2, 3 gibi, 0 ve pi gibi, sonsuzluk gibi temel matematiksel kavramların doğada varolduklarını kanıtlamam gerekiyor. Matematiğin bu başat kavramlarının doğada varolduklarını kanıtlayabilirsem, bu kavramların zorunlu bir sonucu olan çok soyut matematiksel kavramların da doğada olduklarını kanıtlamış olacağım.
Nokta, doğru, çember, , 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanan, ancak modern matematiğin doğada bulunduğuna inanmayanlar olabilir. Bu düşünceyi de paylaşmıyorum. Bu bölümde modern matematiğin bir zorunluluk olduğunu savunacağım.
Modern matematik matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, varoluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.
Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük kavramı, sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar kavramından polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar. Uzaklık kavramından topolojik uzay kavramı, topolojik uzay ve türev kavramlarından manifold kavramı doğar.
Bir örnek daha vereyim. Diyelim ilkel bir toplum 20’ye değin saymasını biliyor ve 20’den büyük sayılar için “çok” terimini kullanıyor. Bu ilkel toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz olmamalı. 20’ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20’ye değin sayabilen bir toplumun 21’i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel zaman git zaman 21’i, 22’yi, 23’ü öğrenecek, hatta “artı 1” kavramına ulaşacaktır. Arkası kendiliğinden gelir. “Artı 1” kavramına ulaşan bir toplum kolaylıkla evrendeki “parçacık” sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa evrende böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama “artı 1” soyutlaması bu sayıyı “yaratır”. Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan “sonsuz” kavramına varmak zor değildir.
Ben gerçekten de “sonsuz” ve “artı 1” soyutlamasına erişmek için 20’ye değin sayabilmenin yeterli olduğuna inanıyorum. 20’ye değin sayabilen toplumların, salt bu kavramları değil, ne derece soyut olursa olsun, her matematiksel kavramı bir zaman sonra bulacağına inanıyorum.
Yukarda, her kavramın bir başka kavramdan doğduğunu söyledim. Biraz daha ileri gideyim: Matematikçi tanımlayacağı kavramları karşısında tanımlanmaya hazır bulur. Dahaca tanımlanmamış kavramlar matematikçinin kâğıtları arasından sırıtır. Bu kavramı görmek matematikçi için bir zaman sorunudur. Örneğin “asal sayı” kavramı tamsayılarla uğraşan herkesin karşısına çıkar. Asal sayı kavramı bir matematikçinin durup dururken birdenbire bulduğu bir kavram değildir. Sayı kavramı asal sayı kavramını içinde taşır. Sayıları anlamak isteyen her akıllı yaratık, asal sayı kavramını bulmak zorundadır.
Her matematiksel kavram daha önce bulunmuş matematiksel kavramlardan kaçınılmaz olarak doğar.
Ayrıca, matematiksel kavramlar kendilerini salt bir dalda göstermezler. Aynı kavram, birbiriyle ilintisiz gibi görünen birçok araştırmada, birçok matematik dalında ortaya çıkabilir. pi sayısı buna güzel bir örnektir. pi’nin raslanmadığı matematiksel konu yok gibidir.
Sonuç olarak, modern matematiğin doğada varolduğunu kanıtlamak için, nokta gibi, doğru gibi, 1, 2, 3 gibi, 0 ve pi gibi, sonsuzluk gibi temel matematiksel kavramların doğada varolduklarını kanıtlamam gerekiyor. Matematiğin bu başat kavramlarının doğada varolduklarını kanıtlayabilirsem, bu kavramların zorunlu bir sonucu olan çok soyut matematiksel kavramların da doğada olduklarını kanıtlamış olacağım.
Anamın adı Hüsniye Ana
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Matematik Makaleleri..
[COLOR=sienna]Matematiğin Kaynağı Doğadır
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, matematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “pi” kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.
Anamın adı Hüsniye Ana
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Matematik Makaleleri..
[COLOR=sienna]Matematiğin Temel İlkeleri
Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi, her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime, başka kelimelerle tanımlanır, bu sonuncular da, daha başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için, sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki, bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi; matematikte, bir teorem, başka teoremlerle, o teoremler de başkalarıyla İspat edilir. Her şeyi ispat için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitme lazım geldiğinden, ister istemez bir yerde durmak icap ediyor. Şu halde, nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilmeyen şeyler de vardır. İspat edilemeyen bu şeylere, matematikte prensipler adı verilir. Gerçi, prensipler ispat edilemezler, fakat her şey bunlara dayanarak ispat edilir. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin sebebi budur.
Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren Eski Yunan (Grek) matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek lazım geldiğinin farkına varmışlardır. Bunlardan Öklid, Elementler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da, <> adını vermiştir. Zamanla, bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin, 19. yüzyıla kadar, matematikçiler, Öklid'in ispatsız kabul ettiği ve Öklid Postülatı denilen <> şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız birtakım hükümler, yeni yeni prensipler kabul edilmiştir.
Eskiden beri, matematikçiler tarafından, matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır. Bunlar:
A) Tanımlar
B) Aksiyonlar
C) Postülatlar
Bu üç temel prensibe ait ilginç örnekler ve geniş bilgileri, herhangi tir matematik kitabında görmek mümkündür.
Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi, her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime, başka kelimelerle tanımlanır, bu sonuncular da, daha başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için, sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki, bunun imkansız olduğu ortaya çıkar. Bunun gibi; matematikte, bir teorem, başka teoremlerle, o teoremler de başkalarıyla İspat edilir. Her şeyi ispat için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitme lazım geldiğinden, ister istemez bir yerde durmak icap ediyor. Şu halde, nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilmeyen şeyler de vardır. İspat edilemeyen bu şeylere, matematikte prensipler adı verilir. Gerçi, prensipler ispat edilemezler, fakat her şey bunlara dayanarak ispat edilir. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin sebebi budur.
Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren Eski Yunan (Grek) matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek lazım geldiğinin farkına varmışlardır. Bunlardan Öklid, Elementler adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da, <> adını vermiştir. Zamanla, bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin, 19. yüzyıla kadar, matematikçiler, Öklid'in ispatsız kabul ettiği ve Öklid Postülatı denilen <> şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız birtakım hükümler, yeni yeni prensipler kabul edilmiştir.
Eskiden beri, matematikçiler tarafından, matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır. Bunlar:
A) Tanımlar
B) Aksiyonlar
C) Postülatlar
Bu üç temel prensibe ait ilginç örnekler ve geniş bilgileri, herhangi tir matematik kitabında görmek mümkündür.
Anamın adı Hüsniye Ana
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Babam Şah Üseyin kafası kopa
Horasan ilinden Karyağdı Ana
Kimseler bilemez Sultanım burada
Konuyu Okuyanlar: 1 Ziyaretçi